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这个形式的时空间隔长得就很像欧几里得空间的矢量长度了，也就具有相似的几何含义，可以视为闵氏空间上的“转动”。数学上有双曲函数：

可以将转动的角度变成一个虚数参量，θ→iθ，将三角函数换成双曲函数：

这里的θ相当于假想的转动角的虚部。如果在此基础上把时空坐标(ct,x)再伪转动一个参量φ，变成另一个时空坐标(ct’,x’)。根据双曲函数的运算规则，新的时空坐标是：

新旧坐标的变换可以用矩阵形式写成：

将其中的变换矩阵记为R，时空坐标记为X，可以简写为：

之前的推导都建立在时空间隔是不变量的基础上，反过来，也可以验证伪转动下时空间隔是保持不变的。原始的时空间隔是：

经过伪转动后：

其中：

所以，伪转动后时空间隔依然是：

由此验证了时空间隔在伪转动变换前后保持不变。

张朝阳讲解洛伦兹变换

4维矢量的定义

张朝阳在这里展示了一种几何的方式来直观理解各种四维矢量。首先，在两个在x方向相对匀速运动的参照系看一束光在x方向行驶，（ct)² - x² 都等于零，这提醒我们，即使粒子在x方向不以光速行驶，（ct)² - x²也可能是个不变量。可以通过如下思考来证明这一点。假定粒子以v速度在x方向行进, 在t =0时，在粒子静止的参照系（张朝阳形象的称这个参考系为“佛系”、“躺平系”），同时向y方向发出一束光，在t时刻，在“躺平系”，经历了τ时，在y方向走了cτ的高度撞到了光的接受器，在水平方向移动为零，假设y方向的高度不随水平方向运动的坐标系变换的影响（这是非常自然的假定），在S系看来，ct, x, cτ构成一个弦勾股直角三角形。而在相对于S系在水平方向匀速运动的S’系看来，y方向光的发出与接收两个事件在原时τ系走的高度也是cτ, 所以，ct’, x’, cτ也构成了弦勾股直角三角形，所以，（ct)² - x² = （ct’)² - x’² 是个不变量。如图所示：

张朝阳讲解“三角形规则”

使用这样的方法可以直观的理解各种4维矢量，比如四维位置矢量、四维速度等。三维位置矢量不再是不变量，需要将时间也一起考虑进去，变成“时空间隔”，即：

可以定义如下的四维位置矢量及位置矢量的微分：

但是此时位置矢量相对坐标时t的导数：

虽然具有速度的含义，但它的模长却不是一个四维不变量，真正的四维速度应该是：

在“躺平系”（共动坐标系）下的四维速度为：

经过检验，这样定义的四维位置矢量正是在洛伦兹变换下不变的量。

仿照这样的逻辑可以定义更多的四维矢量，例如四维电流J。

三维空间中的电流密度为：

其中在“躺平系”下的电荷密度为rho0，这时就可以定义“躺平系”下四电流为：

那么在相对运动的参考系下，由于电荷守恒以及长度收缩效应，电荷密度就变为：

由洛伦兹变换可以得到相应的四维电流密度为：

完全类似的，在“躺平系”下的“佛系”质量为m0，定义四维动量：

那么在相对运动的参考系下，质量为：

由洛伦兹变换可以得到相应的四维动量为：

由模长的关系可得：

令：

可以在低速下对E展开，有：

前两项正是静止质量对应的能量及动能。这说明相对论色散关系正来自于这样一种洛伦兹不变的四维动量。

最后可以定义四维力。方法完全类似四维速度来自于四维位置矢量对固有时的导数，再将四维动量对固有时求一次导数即可得到四维力：

其中空间分量为：

有力的量纲。而时间分量为：

具有功率的量纲。合起来得到四维力：

张朝阳讲解几种四维矢量

这里只考虑了沿x方向的情况，当然不失一般性。

最后张朝阳讲解了什么是允许的物理运动，即在光锥中类时区域的运动，类空的则是被禁止的，分界线就是时空间隔为0的类光线。

张朝阳讲解光锥

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