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氢原子的 Schroedinger 方程和基态波函数
过去，在《张朝阳的物理课》的第一卷中，氢原子的非相对论量子理论已经得到完整的讨论。忽略氢原子的原子核的量子效应（事实上可以通过分离变量将之处理为系统质心的平动），氢原子中的唯一一个电子受到质子的 Coulomb 势作用，这个系统的 Hamitlonian 可以写为
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其中 q 是元电荷的电量， m 事实上应当是质子电子的折合质量，由于二者质量过于悬殊，它事实上近似等于电子的质量。为了简单起见，以下简写
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将 Hamiltonian 中的动量和坐标改写为算符，氢原子中电子的能级就由如下的定态 Schroedinger 方程确定：
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从中可以解出离散的氢原子能级
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其中 Bohr 半径
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同时也可以写出氢原子的基态波函数就是
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氢原子的相对论修正
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上面讨论的事实上是非相对论量子力学的结果，可以看到 Hamiltonian 中仍然使用了经典的 p^2/2m 作为动能项。在相对论动力学中，由于质量的相对论效应，动能项事实上需要进行修正。这种修正来自相对论的动质量关系
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其中 m0 为静质量，p 为动量，而c为光速。从中可以看到相对论性的动能项应当有
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考虑相对论修正较小的情形，即根号下的值接近于1，从而可以通过 Taylor 展开给出若干项相对论修正：
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其中最低阶项正是非相对论的动能项，考虑最低阶的相对论修正。这个修正使得过去通过非相对论理论得到的定态波函数不再是新的 Hamiltonian 的本征态，但仍然能够利用微扰论给出本征值的修正。这里考察氢原子基态上的相对论修正，为
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注意到非相对论的 Hamitlonian 有
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从而基态能量修正事实上为
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由于这个期待值计算于氢原子基态 E1 上，因此可以验证它事实上应当等于
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计算势能项的期待值也可以通过位力定理进行，对 Coulomb 势它应当等于基态能量的两倍。这里采用直接计算的手段，只需要注意到基态波函数和势场都是球对称的，因此最主要的就是计算 1/r 的期待值，即
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从而立即给出
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符合位力定理的预测。类似地也可以给出势能平方的期待值：
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将这些结果带入到上面的基态能级修正中，可以给出
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引入精细结构常数
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从而可以看到相对论的最低阶基态能量修正正是
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即令氢原子基态能量向下移动了约0.006%。
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